${\int }_1^e Inxdx-$এর মান হবে-

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত ইন্টিগ্রেশনটি হলো:

\[ \msubsup{\int_{1}^{e}} \ln x \, dx \] এটি সমাধান করার জন্য আমরা অংশায়ন পদ্ধতি (Integration by Parts) ব্যবহার করব। অংশায়ন পদ্ধতির সূত্রটি হলো:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

এই ক্ষেত্রে, আমরা ধরবো:

    
• \(u = \ln x\)
    
• \(dv = dx\)

তাহলে, \(u\) কে অন্তরীকরণ (differentiate) করলে পাই:

\[ du = \frac{1}{x} \, dx \]

এবং \(dv\) কে ইন্টিগ্রেশন (integrate) করলে পাই:

\[ v = \int dx = x \]

এখন, অংশায়ন পদ্ধতির সূত্রে মানগুলো বসিয়ে পাই:

\[ \int \ln x \, dx = (\ln x) \cdot x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx \]

\[ = x \ln x - \int 1 \, dx \]

\[ = x \ln x - x \]

এখন আমরা নির্দিষ্ট সীমা 1 থেকে \(e\) পর্যন্ত ইন্টিগ্রেশনের মান নির্ণয় করব:

\[ \msubsup{[x \ln x - x]}_{1}^{e} \]

প্রথমে উপরের সীমা (\(e\)) বসিয়ে পাই:

\[ (e \ln e - e) \]

আমরা জানি, \(\ln e = 1\)। সুতরাং,

\[ (e \cdot 1 - e) = (e - e) = 0 \]

এবার নিচের সীমা (1) বসিয়ে পাই:

\[ (1 \ln 1 - 1) \]

আমরা জানি, \(\ln 1 = 0\)। সুতরাং,

\[ (1 \cdot 0 - 1) = (0 - 1) = -1 \]

নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালের মান হবে উপরের সীমার মান থেকে নিচের সীমার মান বিয়োগ করে:

\[ 0 - (-1) = 0 + 1 = 1 \]

সুতরাং, \(\msubsup{\int_{1}^{e}} \ln x \, dx\) এর মান হলো 1।